a)Trovare le autofunzioni normalizzate e gli autovalori per una particella di massa m che vive in un pozzo di potenziale di larghezza a. Le pareti infinite sono localizzate ad x=0 ed x=a. b)Supponiamo di perturbare il potenziale aggiungendo la seguente perturbazione:

Supponendo V0 piccolo, calcolare le correzioni ai livelli energetici al primo ordine in teoria delle perturbazioni.

Una massa M1 e` sospesa ad un filo che, attraverso una carrucola A, e` collegato all' asse di una carrucola B, sulla cui gola si avvolge un secondo filo, fissato ad una estremita` ed attaccato con l'altra ad un corpo di massa M2, appoggiato senza attrito ad un piano inclinato di un angolo di 30 gradi rispetto all'orizzonte. I fili e le carrucole sono di massa trascurabile. Calcolare le accelerazioni dei due corpi e le tensioni nei due fili. Applicazione numerica: M1 = 200 g, M2 = 400 g.

Una sfera di raggio R1 ha una densita' uniforme r di carica elettrica al suo interno eccetto che per una cavita' sferica di raggio R2, il cui centro e' ad una distanza a dal centro della prima sfera. a)Trovare l' intensita' e la direzione del campo elettrico nei punti interni alla sfera vuota. b)Tovare il potenziale elettrico nel centro della sfera vuota supponendo che sia nullo all' infinito.

Un ciclo termodinamico di un motore puo` essere rappresentato da due trasformazioni isoterme (T2>T1) e da due isocore (V > v). Disegnare il ciclo e calcolarne il rendimento per una mole di gas perfetto monoatomico in funzione delle grandezze date. Applicare quindi la formula al caso numerico T2 = 2 T1, V = 2 v.

Discutere un esperimento nel quale un rivelatore dell' apparato, di caratteristiche d' avanguardia, sia determinante per la realizzazione della misura, valutando quantitativamente, per confronto con altri rivelatori simili, l' importanza della sua presenza.

Diffrazione di elettroni.

Il candidato discuta qualche aspetto delle teorie di gauge che ritiene particolarmente significativo.

Argomento n. 4

Materia oscura nell'universo.

a)Trovare, senza sapere la forma esatta delle soluzioni, quali devono essere le proprieta' di trasformazione sotto parita' delle funzioni d' onda dell' oscillatore armonico unidimensionale. b)Trovare gli autovalori e le autofunzioni del sistema unidimensionale con potenziale:

Una particella di massa m si muove su di un piano orizzontale. Si muove con velocita' v1 nella zona del piano in cui la sua energia potenziale e' una costante U1. Entra nell' altra meta' del piano in cui la sua energia potenziale e' una differente costante U2. a)Determinare quali componenti del momento lineare sono conservate nel passaggio tra la prima e la seconda meta' del piano. b)Se l'angolo iniziale rispetto alla normale all' interfaccia era q1, trovare l'angolo di uscita q2 e la velocita' finale v2.

Un conduttore rettilineo lungo 0.04 m, di 0.02 Kg di peso e resistenza pari a 8 W scorre senza attrito su una coppia di guide orizzontali metalliche parallele e di resistenza trascurabile, distanti 0.04 m l' una dall' altra. Un campo magnetico uniforme di 0.2 T e' perpendicolare al piano delle guide. Se il conduttore si muove inizialmente con una velocita' di 0.48 m/s ed a t=0 gli estremi delle due guide vengono collegate tra loro da un filo di resistenza trascurabile, calcolare: a)La forza elettromotrice indotta ai capi del conduttore in funzione della velocita'; b)La velocita' del conduttore mobile dopo 2 s; c)Lo spazio percorso dal conduttore mobile nei primi 2 s; d)Il lavoro fatto dalle forze del campo nei primi 2 s.

Una mole di gas perfetto monoatomico descrive un ciclo composto, nell'ordine, da un'espansione isobara, un'espansione isoterma alla temperatura T2, una trasformazione isocora ed una compressione isoterma alla temperatuta T1 (T2>T1). Calcolare il rendimento del ciclo sapendo che le temperature delle isoterme sono una il doppio dell'altra, e che il volume massimo del gas e` 4 volte quello minimo nel ciclo.

Rivelatori di radiazione elettromagnetica: in un contesto specifico di sperimentazione attuale, descriverne una o piu' alternative, discutendo quantitativamente il loro contributo alla qualita' della misura a cui sono destinati.

Statistica delle impurezze nei semiconduttori.

Il candidato discuta le ragioni sperimentali e teoriche per l'introduzione del modello a quark.

Sistemi di galassie.

Il potenziale di un sistema e':

dove V(x) e' una funzione limitata e a>0. a)Scrivere l'equazione di Schrödinger associata a questo potenziale e trovare il comportamento delle sue soluzioni f(x) e delle loro derivate prime f'(x) nell' intorno del punto x0. Indicare cioe' se in x0 esse sono continue o discontinue e precisamente come. b)Supponendo V(x)=0 ed x0= 0, calcolare i livelli di energia e le funzioni d' onda dello spettro discontinuo di questo sistema.

Una particella di massa m colpisce orizzontalmente, con velocita` v, un disco omogeneo di massa M e raggio R, inizialmente in quiete, il quale puo` ruotare attorno ad un asse fisso orizzontale, passante per il suo centro O. Se la massa m rimane fissata al disco nel punto B in cui lo colpisce, calcolare (supponendo nulli gli attriti) la velocita` angolare del sistema (disco + massa) immediatamente dopo l'urto e nel momento in cui la massa m si trova in A (punto piu` alto del moto). Dati: m = 20 g; M = 2 kg; R = 10 cm; v = 30 m/s.

Si assuma che un particolare cavo coassiale possa essera assimilato a due cilindri metallici coassiali molto lunghi paralleli all' asse z, di spessore trascurabile e raggio r1=0.5 cm e r2=0.6 cm. I due cilindri sono isolati da un dielettrico polimerico di suscettivita' pari a 4.2. Una corrente di 0.2 A scorre lungo il cilindro interno nella direzione +z, mentre una corrente di 0.2 A scorre lungo il cilindro esterno nella direzione -z. Calcolare: a)La capacita' per unita' di lunghezza del cavo coassiale; b)Direzione ed intensita' del campo magnetico a 0.2 cm dall' asse; c)Direzione ed intensita' del campo magnetico a 0.55 cm dall' asse; d)Direzione ed intensita' del campo magnetico ad 1 cm dall' asse; e)L' energia immagazzinata nel campo magnetico per metro di cavo coassiale. (eo=8.8542x10-12 F/m; µo=4px10-7 N/A2)

Un raggio di luce laser con lunghezza d' onda di 750 nm in aria (indice di rifrazione n=1.00) incide ad un angolo di 30° dalla normale sul centro di una lastrina di vetro (indice di rifrazione n=1.52). La lastrina e' di forma circolare, con diametro di 2 cm e spessore di 5 mm. Una parte del raggio viene trasmessa ed emerge nell' aria dopo aver attraversato il vetro. Calcolare: a)L' angolo che il raggio trasmesso forma con la normale; b)Il tempo che la radiazione impiega ad attraversare la lastrina; c)La lunghezza d' onda della luce quando viaggia nel vetro; d)Se esiste un angolo di incidenza critico al di sotto del quale la luce sarebbe riflessa completamente dalla lastrina, cioe' non emergerebbe dall'altra parte, calcolarne il valore.

Discutere una misura il cui apparato sia basato in modo sostanziale su di un rivelatore di radiazione elettromagnetica; di esso presentare le caratteristiche generali, le proprieta' specifiche e valutare quantitativamente il suo apporto alla bonta' della misura stessa.

Difetti nei solidi cristallini.

Il candidato illustri quantitativamente i problemi che portarono alla nascita della meccanica quantistica.

Galassie e sistemi di galassie: materia luminosa ed oscura.

(XVI CICLO 2000/2001)

TEMA 1

Risolvere due e non piu’ di due problemi contrassegnati da lettere diverse (A, B o C) e trattare uno e non piu’ di uno degli argomenti sotto indicati.

Problemi:

A1) Il campo elettrico E(r) in un determinato volume e’ dato da

E(r)=axyi+bxj+azyk

Dove r=xi +yj+zk e a,b sono delle costanti note. In base alle leggi dell’elettromagnetismo nello spazio libero che informazioni si possono trarre da questo dato su:

• la distribuzione delle cariche elettriche?
• il campo magnetico?
• altro?

A2) In una macchina fotografica elementare in cui l' obiettivo e' costituito da un forellino, l' immagine e' sfocata a causa del diametro finito del forellino e a causa della diffrazione. Se si diminuisce il diametro del forellino, la sfocatura dovuta alla sue dimensioni, cioe' ai raggi che arrivano al punto immagine da diverse parti dell' oggetto e' ridotta, ma quella dovuta alla diffrazione aumenta. Il diametro ottimale per ottenere l' immagine piu' nitida si ha quando l' allargamento dovuto alla diffrazione (misurato in prima approssimazione in base al primo minimo della figura di diffrazione) e' eguale a quello dovuto al diametro dell' apertura. Si valuti il diametro ottimale dell' apertura se la distanza tra il forellino, lo schermo e' di 15 cm e la lunghezza d' onda della luce e' di 0.5 micron e l’oggetto e’ a distanza infinita. (Si usino le approssimazioni valide per piccoli angoli).

B1) In meccanica ondulatoria i possibili valori dell'energia dell'atomo di idrogeno sono quantizzati secondo la formula:

essendo

il cosiddetto "raggio di Bohr".

Espressa in coordinate polari, la funzione d'onda di uno stato di fissata energia (n), momento angolare quadro (l(l+1)) e sua componente lungo l'asse z (m), denotata come Y_nlm, risulta data dal prodotto

essendo Y_lm l'armonica sferica lm convenzionalmente definita.

Si consideri lo stato "fondamentale", n=1, l=m=0. Per tale stato si ha:

essendo x=2r/a.

Utilizzando la definizione convenzionale di "valor medio" di una grandezza, si calcolino per tale stato fondamentale:

1) Il valor medio di r

B2) In un problema d'urto elastico di una particella di massa m, senza spin, da parte di un potenziale centrale V(r), l'ampiezza d'urto per una transizione da uno stato asintotico iniziale di trimomento p =m v ad uno stato finale di trimomento p’ e' data ,in approssimazione di Born, dall'elemento di matrice:

Essendo la sezione d'urto differenziale il modulo quadro dell'ampiezza d'urto, e definendo il momento trasferito nell'urto q=2 p sin(q/2), con p modulo del trimomento iniziale e finale e q angolo di diffusione tra il trimomento iniziale e quello finale, si consideri un potenziale di tipo Yukawa,

In questa ipotesi:

1) Si derivi l'espressione della sezione d'urto differenziale, in approssimazione di Born, come funzione di p e di q e se ne discuta l'andamento per valori q che tendono a zero, al variare dell'energia iniziale della particella.

2) L'espressione trovata dell'ampiezza d'urto in approssimazione di Born viola una fondamentale richiesta fisica del formalismo adottato, di solito tradotta in questo caso sotto forma di un noto "Teorema". Qual'e' la richiesta fisica e qual' e' il teorema menzionato?

3) Nel limite per k che tende a zero, quale nota formula si ritrova per la sezione d'urto differenziale in approssimazione di Born del problema trattato?

C1) Un meteorite si avvicina alla terra. Quando la sua distanza dalla terra e’ molto grande (approssimabile come infinita) il modulo della sua velocita’ e’ v₀. La distanza dal centro della terra della retta lungo cui si muoverebbe il meteorite in assenza di forze applicate e’ D. Per effetto dell’attrazione terrestre ( si trascuri l’effetto di altri corpi celesti) il meteorite viene deviato dalla traiettoria rettilinea, avvicinandosi alla terra sino ad una distanza minima d, alla quale il modulo della velocita’ e’ v. Determinare d e v senza trovare la legge oraria del moto, conoscendo oltre a v₀ e D anche la costante gravitazionale G e la massa della terra M_T.

Assumere nei calcoli v₀=500 m/s, D=2.0 10⁸ m, G=6.7 10^-11 m³kg^-1s^-2 , M_T =6.0 10²⁴ kg

C2) Un blocco di massa m₁ scivola su un piano orizzontale senza attrito con velocita’ v₁. Davanti ad esso un blocco di massa m₂ si muove nella stessa direzione con velocita’ v₂. Una molla di massa trascurabile e di costante elastica k e’ fissata al secondo blocco come indicato in figura. Determinare:

1) energia cinetica totale del sistema e la velocita’ del suo centro di massa prima dell’urto.
2) La massima compressione della molla durante l’urto, supponendo che la molla si comprima seguendo sempre la legge di Hooke.

Assumere m1=3.0 Kg m2=5.0 Kg v1=8.0 m/s v2=2.0 m/s k=1000 N/m

Proprieta’ elettroniche della materia condensata. Discuterne anche quantitativamente, dal punto di vista del calcolo o della determinazione sperimentale, almeno un aspetto particolare ma importante.

Rilevanza del concetto di Simmetria nella Fisica moderna: il candidato la illustri con qualche esempio che gli sembri particolarmente significativo.

Materia luminosa e materia oscura nell' universo.

Descrivere un esperimento che abbia la sensibilita’ adatta a misurare i piccoli angoli di mixing tra i tre sapori dei neutrini

TEMA 2

Risolvere due e non piu’ di due problemi contrassegnati da lettere diverse (A, B o C) e trattare uno e non piu’ di uno degli argomenti sotto indicati.

Problemi:

A1) Una barra conduttrice cilindrica di raggio R, il cui asse coincide con l’asse x, ha un sottile taglio normale all’asse x nella posizione x=b. Una corrente di conduzione i crescente nel tempo secondo la legge i=at, con a costante positiva, percorre la barra verso destra. Essa e’ distribuita uniformemente sulla sezione della barra . All'istante t=0 non vi e’ alcuna carica localizzata sulle facce del taglio a x=b.

1. Determinare il modulo della carica su queste facce in funzione del tempo.
2. Nel limite dello spessore del taglio tendente a zero determinare il campo elettrico E nell’intercapedine in funzione del tempo
3. Disegnare le linee di forza di B per r<R, dove r e’ la distanza dall’asse x.
4. Determinare B(r) nell’intercapedine per r<R .
5. Confrontare la risposta precedente con B(r) nella barra per r<R
6. Cosa cambia per r > R all’altezza del taglio e lontano dal taglio? Cosa cambia se nel taglio non c’e’ il vuoto, ma un materiale isolante omogeneo ed isotropo?

A2) Il campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana che si propaga lungo l’asse x di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (x,y,z) e’ dato dall’espressione

Dove j indica il versore dell’asse y. Una carica elettrica q, inizialmente (t=0) ferma nell’origine del sistema di riferimento, si muove sotto l’azione del campo elettromagnetico.

1) Supponendo di poter trascurare gli effetti del campo magnetico (approssimazione nonrelativistica) si determini il moto della carica.
2) Supponendo piccolo l’effetto del campo magnetico si discuta come varia il moto della carica a causa di tale effetto.
3) Sino a quando l’approssimazione usata nel punto 2 e’ valida?
4)Come cambiano le cose se a t=0 la carica ha una velocita’ finita v lungo l’asse x?

B1) Si consideri un oscillatore armonico quantistico unidimensionale, di massa me frequenza w. La funzione d'onda del suo stato di energia minima e'

essendo

L'energia potenziale del sistema e' data dall'espressione V(r)= mw²x²/2. Si calcoli:

B2) In un problema d'urto elastico di una particella di massa m ,senza spin ,da parte di un potenziale centrale V(r), l'ampiezza d'urto per una transizione da uno stato asintotico iniziale di trimomento p =m v ad uno stato finale di trimomento p’ e' data, in approssimazione di Born, dall'elemento di matrice:

Essendo la sezione d'urto differenziale il modulo quadro dell'ampiezza d'urto, e definendo il momento trasferito nell'urto q=2 p sin(q/2), con p modulo del trimomento iniziale e finale e q angolo di diffusione tra il trimomento iniziale e quello finale, si consideri un potenziale di tipo Gaussiano,

In questa ipotesi:

1. Si derivi l'espressione dell'ampiezza d'urto in approssimazione di Born, come funzione di p e q
2. Si discuta l'andamento della sezione d'urto differenziale, in approssimazione di Born, per valori di q che tendono a zero, al variare dell'energia iniziale della particella
3. L'espressione dell'ampiezza d'urto in approssimazione di Born viola una fondamentale richiesta fisica del formalismo adottato, di solito tradotta in questo caso sotto forma di un noto "Teorema". Qual'e' la richiesta fisica e qual' e' il teorema menzionato?

C1) Una ruota di raggio R, costituita da un sottile anello circolare omogeneo di massa m e da una sbarretta radiale di massa m1 saldata all’anello il P e’ inizialmente in quiete con la sbarra in posizione orizzontale come mostrato in figura. Il sistema sbarra-anello puo’ ruotare con attrito trascurabile attorno ad un asse fisso orizzontale di traccia O passante per il centro dell’anello. Ad un certo istante il sistema viene lasciato libero. Determinare:

a) la velocita’ angolare w₁ della ruota nell’istante in cui la sbarra raggiunge la posizione di equilibrio stabile

b) il periodo di oscillazione del sistema nel caso di piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile.

Supponendo che l’attrito non sia trascurabile e che la ruota, lasciata libera con la sbarra in posizione orizzontale, raggiunga la posizione verticale OP’ con una velocita’ angolare w₁’=1/2w₁, determinare:

c) l’intensita’ del momento Ma generato dalle forze di attrito nell’ipotesi che esso resti costante

C2) Una palla di massa m viene lasciata cadere vericalmente nel campo gravitazionale terrestre con velocita’ iniziale nulla da una quota h ed urta il centro di una piattaforma di massa M posta a quota zero e sostenuta da una molla di costante elastica k e massa trascurabile. Dopo una collisione elastica la palla rimbalza verticalmente e la piattaforma compie piccole oscillazioni libere. Determinare:

1. la velocita’ iniziale v₀ della piattaforma dopo l’urto,
2. l’altezza h a cui arriva la palla dopo il primo rimbalzo
3. la frequenza w e l’ampiezza A delle oscillazioni della piattaforma

Assumere m=500 g M=20.0 Kg h=5.10 m k= 2000 N/m g=9.81 m/s²

ARGOMENTI

Effetti della temperatura finita (T > 0 K) sulle proprieta’ della materia condensata. Discuterne anche quantitativamente alcuni casi particolari e la loro importanza.

Sviluppi perturbativi in Fisica: il candidato ne illustri qualche esempio che gli sembri particolarmente rilevante, discutendone quelli che gli sembrano i pregi e, eventualmente, i difetti.

Nuove prospettive di ricerca in astronomia extragalattica

Supponendo che il bosone di Higgs abbia una massa di 115 GeV/c² discutere l’osservazione che caratterizza la segnatura per una sua eventuale scoperta.

TEMA 3

Risolvere due e non piu’ di due problemi contrassegnati da lettere diverse (A, B o C) e trattare uno e non piu’ di uno degli argomenti sotto indicati.

PROBLEMI:

A1) Due rotaie perfettamente conduttrici, poste ad una distanza L l’una dall’altra, formano un cerchio con diametro molto maggiore di L. Tra le due rotaie vi e’ una resistenza R. Su queste rotaie puo’ viaggiare con attrito meccanico trascurabile una barra perfettamente conduttrice in contatto elettrico con le rotaie stesse. Tra le rotaie vi un campo magnetico uniforme B₀ normale al piano in cui sono contenute le rotaie stesse. A partire dall’istante t=0 la barra e’ sottoposta ad una forza esterna in modulo costante e diretta in ogni punto parallelemente alle rotaie. Trovare la differenza di potenziale tra le rotaie in funzione del tempo ed il suo valore quando questo generatore ha raggiunto lo stato stazionario.

A2) Un cavo coassiale e’ costituito da due superfici metalliche rispettivamente di raggio r₁ ed r₂ (r₂>r₁). Si assuma la lunghezza del cavo molto maggiore di r₂.

1) Calcolare la densita’ di energia del campo B quando una corrente i circola nei conduttori esterno ed interno (in senso opposto nei due conduttori) nell’ipotesi che essa circoli solo sulla superficie del conduttore interno (effetto pelle).

2) Determinare l’induttanza del cavo per unita’ di lunghezza.

Ad una estremita’ del cavo le due superfici sono collegate ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale V. All’altra estremita’ sono collegare ad una resistenza R molto maggiore della resistenza dell’intero cavo.

3) Si calcoli il flusso del vettore di Pointing attraverso una sezione trasversale del cavo lontana dalle sue estremita’ ( Il vettore di Pointing e’ S=e₀c²ExB)

4) Si commenti il confronto tra il flusso di S calcolato al punto precedente e la potenza dissipata nella resistenza.

B1) Si consideri un oscillatore armonico unidimensionale quantistico, di massa m e frequenza w. Siano gli autoket dell'energia indicati col simbolo |n>, ed E_n il corrispondente autovalore dell'Hamiltoniana.

In funzione degli operatori convenzionali di posizione q e momento p, si introducano i due operatori di creazione a e di distruzione a⁺, definiti come a, (a⁺) =

Sia N e' l'operatore N=a⁺a=a a⁺-1, tale che N |n>=n |n>.

Gli operatori a e a⁺ applicati allo stato |n> lo trasformano rispettivamente negli stati |n-1>e |n+1>, autostati di N con autovalore diminuito (aumentato) di un'unita'. Sia l'energia potenziale dell'oscillatore

Si calcoli:

B2) In un problema d'urto elastico di una particella di massa m ,senza spin ,da parte di un potenziale centrale V(r), l'ampiezza d'urto per una transizione da uno stato asintotico iniziale di trimomento p=m v ad uno stato finale di trimomento p’ e' data ,in approssimazione di Born, dall'elemento di matrice

Essendo la sezione d'urto differenziale il modulo quadro dell'ampiezza d'urto, e definendo il momento trasferito nell'urto q=2 p sin(q/2), con p modulo del trimomento iniziale e finale e q angolo di diffusione tra il trimomento iniziale e quello finale, si consideri un potenziale di tipo parete sferica

In questa ipotesi:

C1) Un recipiente cilindrico a pareti termicamente isolanti contiene n moli di aria, inizialmente in equilibrio con l’atmosfera esterna alla temperatura T₀. Una lampadina che dissipa irreversibilmente una potenza P viene accesa per un tempo Dt ed in conseguenza il pistone mobile, libero di muoversi orizzontalmente con attrito trascurabile, si muove lentamente verso destra (vedi figura).

Trattando l’aria come un gas ideale biatomico, calcolare:

1. la temperatura finale raggiunta all’equilibrio dal gas in funzione del tempo Dt di accensione della lampadina;
2. La variazione di entropia del gas.

Assumere n=2.0 moli, T₀= 20° C, P=10 W, T₀=3 minuti, R=8.314 J/K mol

C2) Una ruota omogenea avente forma di cilindro pieno di massa m e raggio r si trova inizialmente in quiete alla sommita’ di un piano inclinato scabro di lunghezza l ed inclinazione f rispetto all’orizzontale. Nell’ipotesi di puro rotolamento determinare:

1. il tempo impiegato dalla ruota per percorrere il piano inclinato
2. il minimo valore del coefficiente di attrito statico affinche’ la ruota rotoli senza scivolare
3. il modulo della reazione vincolarerisultante del piano

Assumere m= 1.0 Kg, l=19.6 m, f = p/6

ARGOMENTI

Proprietà di trasporto nei solidi: discutere anche quantitativamente alcuni casi significativi.

Nella moderna Fisica teorica si associano a Materia e Radiazione dei "Campi", ideati per descrivere entita' di spin zero, un mezzo, uno rispettivamente. Il candidato scelga uno di questi tre campi e ne illustri il ruolo che sta ricoprendo nella Fisica di oggi.

Formazione e/o evoluzione di strutture cosmiche.

Aspetti subnucleari dell’ipotesi sulla materia oscura dell’ universo.